Вписанные окружности

В четырёхугольник вписана окружность с центром в точке Эта окружность касается стороны в точке
а) Докажите, что точка лежит на прямой
б) Найдите если

а) Пусть пересекается с в точке
Заметим, — (как центр вписанной в четырёхугольник окружности) лежит, в частности, на биссектрисе угла
Так как по условию, то
Стало быть, из треугольника

При этом итак как — точка касания окружности и стороны

Из одной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр, — стало быть, точки совпадают, а значит точка лежит на прямой

б) Из прямоугольного треугольника имеем:

Пусть — точка касания окружности со стороной
по свойству отрезков касательных. Тогда
Из прямоугольного треугольника имеем:

Пусть — точка касания окружности со стороной
по условию. — квадрат, сторона которого равна радиусу вписанной в четырёхугольник окружности.

Итак,

Ответ:

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекает сторону в точке Окружность с центром вписанная в треугольник касается отрезка в точке а прямая пересекает сторону в точке
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника если

а) Серединный перпендикуляр к  — биссектриса угла
Пусть Тогда где  — середина
Тогда, с учетом того, что получаем: И тогда
Итак, в четырехугольнике наблюдаем:

что говорит о том, около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Заметим, треугольник  — прямоугольный, так как
Пусть тогда
Из треугольника

Тогда
Замечаем,  — биссектриса угла
Из треугольника

Из треугольника
Тогда
По теореме Синусов для треугольника

Ответ:

К окружности, вписанной в квадрат проведена касательная, пересекающая стороны и в точках и соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника равен стороне квадрата.
б) Прямая пересекает прямую в точке В каком отношении делит сторону прямая, проходящая через точку и центр окружности, если

а) Пусть  — середины Пусть сторона квадрата —

Пусть  — точка касания с окружностью.

Итак,
Что и требовалось доказать.
б) Согласно условию,
Пусть
Тогда

Тогда
 — центр квадрата).

Значит,
А так как то
Ответ:

Стороны и квадрата касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность разбивает диагональ на три равных отрезка.
б) Касательная к окружности, проведённая через точку пересекает сторону в точке Найдите длину отрезка если сторона квадрата равна

а) Пусть  — центр окружности
Пусть
касается в точке  — в точке
Пусть тогда

Тогда и
Итак,
б)  — биссектриса

(из

Тогда
Ответ:

Окружность с центром касается оснований и и боковой стороны трапеции Окружность с центром касается сторон и
Известно, что
а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции
б) Найдите

а) Точка равноудалена от сторон Аналогично точка равноудалена от сторон Тогда прямая равноудалена от то есть
б) Пусть и  — точки касания первой и второй окружностей со сторонами и соответственно.
Пусть

тогда

Пусть
Имеем

Стало быть,
Итак, откуда
Ответ:

В прямоугольном треугольнике  проведена высота  из вершины прямого угла В треугольники  и  вписаны окружности с центрами  и  соответственно, касающиеся прямой  в точках  и  соответственно.
а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника если

а) Пусть
Из треугольника имеем: Тогда и
Пусть
Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения биссектрис углов треугольника, поэтому
Итак, из

Таким образом, прямые  и  перпендикулярны.

б) Из треугольника

Пусть радиусы вписанных окружностей в треугольники соответсвенно.

Заметим, так как радиусы вписанных окружностей подобных треугольников связаны как и соответствующие стороны треугольников одним отношением.

Найдем

Тогда

Пусть точки касания окружностей (большей и меньшей соответственно) со стороной

Не забываем, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Заметим, квадраты со сторонами соответственно.

Тогда

Наконец,

Ответ: